Основы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями.


НАУЧНАЯ МЫСЛЬ
СЕРИЯ ОСНОВАНА В 2008 ГОДУ





С.П. ГОРБИКОВ




                ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ




КАК И КАКИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ВЛИЯЮТ НА ХАРАКТЕРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ

МОНОГРАФИЯ




znanium.com электронно-библиотечная система
Москва ИНФРА-М 2024

УДК 517.938(075.4)
ББК 22.161.6

     Г64



      Рецензенты:
         Филатов Л.В., кандидат физико-математических наук, доцент Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета;
         Пакшин П.В., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Арзамасского политехнического института (филиала) Нижегородского государственного технического университета

      Горбиков С.П.
Г64 Основы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями. Как и какие аналитические условия влияют на характерное поведение траекторий виброударных систем : монография / С.П. Горбиков. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 193 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/2083333.
         ISBN 978-5-16-019030-3 (print)
         ISBN 978-5-16-111830-6 (online)
         В монографии вводится наиболее общий вид динамических систем с ударными взаимодействиями. Дается понятие локальных особенностей этих систем. Изучаются локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями первых шести типов. Доказывается их топологическая эквивалентность, т.е. их одинаковость. Изучаются две простейшие виброударные системы, имеющие основополагающее значение для практики.
         Рассчитана на научных работников, инженеров, студентов и аспирантов, интересующихся изучением динамических систем и процессов.


УДК 517.938(075.4)
ББК 22.161.6













ISBN 978-5-16-019030-3 (print)
ISBN 978-5-16-111830-6 (online)


© Горбиков С.П., 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ


Список основных обозначений ................................. 5
Предисловие ................................................. 6
Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ...................... 10
§ 1. Описание рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями ................... 10
§ 2. Изучаемые типы локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями ................... 16
§ 3. Изучение локальных особенностей первых трех типов ..... 18
§4.  Изучение локальной особенности четвертого типа ........ 23
§ 5. Дифференциальные уравнения вспомогательных скользящих движений .................................. 27
§ 6. Некоторые применения полученного описания бесконечноударных движений ........................... 38
Выводы главы ............................................... 51
Глава И. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ.
        ГРАНИЦА ОБЛАСТИ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ........................................... 52
§ 1. Уравнения движения .................................... 52
§2.  Изучение локальной особенности пятого типа ............ 55
§ 3. Изучение локальной особенности шестого типа ........... 96
§4.  Область бесконечноударных движений и ее граница. Способ численного изучения динамических систем с ударными взаимодействиями .................................... 121
§ 5. Применения полученного описания локальной особенности шестого типа ........................................ 123
Выводы главы .............................................. 121
Глава III. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ
         ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ ................................. 126
§ 1. Уравнения движения рассматриваемой системы ........... 126
§ 2. Описание фазового пространства........................ 128
§3.  Сведение задачи к рассмотрению точечного отображения . 130

3

§4.  Некоторые особенности точечного отображения................ 132
§ 5. Периодические движения .................................... 134
§6.  Структура пространства параметров ......................... 136
§ 7. Расчет безразмерной средней скорости вибротранспортирования ................................ 142
Выводы главы ................................................... 145
Глава IV. ПОДСЧЕТ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ ............................... 146
§ 1. Уравнения движения ........................................ 146
§2 . Методика расчета средней скорости вибротранспортирования .. 147
§ 3. Результаты расчетов ....................................... 147
Выводы главы ................................................... 152
Глава V. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
        ОСЦИЛЛЯТОРА БЕЗ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ ............................ 154
§ 1. Уравнения движения ........................................ 154
§2 . Фазовое пространство осциллятора с предварительным натягом ............................................... 156
§ 3. Точечное отображение осциллятора с предварительным натягом ............................................... 157
§4 . Особенности точечного отображения осциллятора с предварительным натягом ............................. 158
§5 . Структура пространства параметров осциллятора с предварительным натягом ............................. 167
§6 . Фазовое пространство осциллятора с зазором ................ 173
§ 7. Точечное отображение осциллятора с зазором ................ 173
§ 8. Особенности точечного отображения осциллятора с зазором ... 175
§9.  Структура пространства параметров осциллятора с зазором ... 179
Выводы главы ................................................... 184
Заключение...................................................... 185
Библиографический список ....................................... 188

4

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ


     В монографии используются следующие обозначения:
     (x 1, x₂,... ,xₙ) - точка n — мерного евклидова векторного пространства Rn;
     t— время;
     функция f (x ।,..., xₙ) или векторная функция (f1(x 1,..., xₙ),..., fᵣ(x 1, ... ,xₙ)) принадлежит классу Cm(!))(либоклассу Cm), если она имеет во внутренности некоторого множества D, на котором она рассматрива

ется, все частные производные до порядка m включительно, непрерывные на замкнутом множестве D(ecли m = 0, то под частными производными порядка m, естественно, подразумевается сама функция f);

    для любых функций h (x 1,..., xₙ) и f (x 1,..., xₙ—1) запись h


     обо-
Xj = a

значает функцию h(x 1,..., xj-1, a, xj+1,..., xₙ), a h


   = h⁽x 1 ,...,xn) и
Mо

det

  = f (
Mо

x 11, . . . , xn---1), если      Mi =
            dg 1                dg 1 
/ dgiА      dx 1 ..             dxn  
\dxi!       ~~ . . .        . . . . .
            dgn                 dgn  
            dx 1 ..             dxn  
n = 1,      2, 3,..., n;             

- определитель соответствующей мат-

0 . ,)■ n—1, xn)?

f

рицы; 1,
     для любой функции x (t) дифференцирование по времени обозначается

dx d d² x    .. d³ x  и/

     {(x 1,..., xₙ) \fi(x 1,..., xₙ) = 0, i = 1, k } - множество точек пространства Rⁿ, удовлетворяющих перечисленным условиям;
     B\A - разность множеств B и A (т.е. множество точек, входящих в B и не входящих в A).

        ПРЕДИСЛОВИЕ


     В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, в горной, лесной, пищевой промышленности, в металлургии, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и Т.Д.
     Изучение динамических систем, описывающих функционирование таких устройств, проводилось в значительном числе работ, авторы которых -В.И.Бабицкий, Н.Н.Баутин, И.И.Блсхман, В.Ф.Журавлев, А.А. и А.Е.Кобринские, М.З.Коловский, Э.Э.Лавендел, Р.Ф.Нагаев, Ю.И.Неймарк, К.М.Рагульскис, М.И.Фейгин, C.N.Bapat, P.J.Holmes, S.F.Masri, F.Petcrka, S.W.Shaw и многие другие.
     Но построение качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями происходило фрагментарно, хотя необходимость такого подхода была осознана после работ А.А.Андропова. Тем более, что еще в 1953 г. Ю.И. Неймарк провел уникальное исследование [Н5], на которое авторы прикладных работ до сих пор ссылаются. Он выполнил характерное для него теоретическое исследование, которое имело сугубо практическое значение. В [Н5] изучается процесс вибропогружения в случае упругого грунта; открыт новый эффект вибраций; они способны снижать сопротивление при внедрении в грунт.
     В настоящее время при изучении впброударных систем, когда к действию вибраций (результаты действия вибраций на технические системы описаны в монографии [Б5]) добавляются удары, исследователи занимаются:
     методами расчета впброударных систем (например, [All, Бб и др.] );
     разработкой моделей, методов синтеза и анализа динамики впброударных систем различного типа (например, [Б4, В4, М2 п др.]).
     Болес подробное представление о современном состоянии теории впброударных систем можно получить, например, из [Д2].
     В то же время в теории впброударных систем известны движения, при которых за конечный промежуток времени траектория бесчисленное число раз попадает на многообразие разрыва. Это - Сесконечноудирные движения [Ml, с. 291; Ф2; Н4], т.с. движения с бесконечным числом ударных взаимодействий за конечное время.
     В плане изучения локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями сделано следующее. В работе [Д1] для конкретной системы, а в [Ф1] для неавтономной динамической

6

системы общего вида с прямым ударом, описываемым гипотезой Ньютона, устанавливается структура фазового пространства в окрестности точки па поверхности S = 0 удара, в которой первая и вторая производные функции S (в силу дифференциальных уравнений движения) равна нулю, а третья - положительна (движение системы происходит в области S > 0).
     В [Г4] предлагается наиболее общая модель динамических систем с ударными взаимодействиями (в частности, виброударных систем), включающая в том числе и системы, используемые в [Н4]. Для введенных систем (в одном общем случае) в [Г4] дастся описание бесконечноударных движений с помощью гладких дифференциальных уравнений. Интегральные кривые этих уравнений получили название вспомогательные сколыящие движения.
     При выполнении работы [Г4] Ю.И.Неймарк предложил идею об описании бесконечноударных движений с помощью дифференциальных уравнений. Эта идея сразу решала проблему о единственности предельной точки бесконечноударного движения и кривой, в которой начинаются, продолжаются бесконечноударные движения, заканчивающиеся в выделенной точке. Оказывается, что эта же идея работает и для локальной особенности [Г5] пятого [Г10] п шестого [Г13] типа. Идеи Ю.И.Неймарка всегда благотворны п имеют далекое идущее будущее.
     В [Г11, Г12, Г14] устанавливается топологическая эквивалентность указанных локальных особсннстей.
     Цель данной монографии состоит в исследовании локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, а также в изучении (с помощью полученных при этом исследовании результатов) установившихся движений ряда конкретных систем, составляющих основу теории впброударных систем.
     Она содержит пять глав, каждая из которых заканчивается выводами (из полученных в данном разделе результатов).
     В главе I вводятся в рассмотрение шесть типов локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, и изучаются первые четыре выделенных типа особенностей. В § 1 дано описание рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями и обоснование выделения именно такого класса. В §2 определяются б типов локальных особенностей, которые в дальнейшем изучаются. В §3 доказываются утверждения о структуре фазового пространства и топологической эквивалентности (при соответствующих условиях) малых окрестностей первых трех выделенных типов локальных особенностей. В §4 — §6 исследуется локальная особенность четвертого выделенного типа. В §4 вво-

дптся в рассмотрение некоторое точечное отображение и доказываются достаточные условия существования бесконечноударных движений. В §5 доказывается теорема об описании бесконечноударных движений вспомогательными гладкими дифференциальными уравнениями, указывается сходящаяся итерационная процедура для их отыскания. §6 посвящен примерам использования полученного описания бесконечноударных движений. Здесь: находятся предельные значения бесконечноударных движений; рассматриваются бифуркации периодических решений, включающих участок бесконечноударных движений, происходящие при изменении коэффициента восстановления нормальной составляющей скорости от нуля; для одной частной задачи численно исследуются бесконечноударные движения; доказывается при соответствующих условиях топологическая эквивалентность локальных особенностей четвертого типа.
     В главе II изучаются локальные особенности пятого и шестого выделенных типов. В § 1 уравнения движения рассматриваемого класса динамических систем приводятся к виду, более удобному для предстоящих исследований. В § 2 доказывается теорема о структуре фазового пространства изучаемых динамических систем в малой окрестности локальной особенности пятого выделенного типа. Дается описание (с помощью гладких дифференциальных уравнений) бесконечноударных движений в малой окрестности особенности пятого типа как па границе области существования бесконечноударных движений, так и внутри этой области. В §3 доказывается теорема о структуре фазового пространства рассматриваемых систем в малой окрестности локальной особенности шестого выделенного типа. Бесконечноударные движения этой окрестности описываются с помощью гладких дифференциальных уравнений. Доказывается при соответствующих условиях топологическая эквивалентность локальных особенностей шестого типа. В §4 дается определение области бесконечноударных движений. Формулируется один способ численного исследования таких систем. В §5 даются применения полученного описания локальной особенности шестого типа.
     В главе III изучаются основные установившиеся движения одной задачи из теории виброперемещения. В преамбуле главы предлагается определение таких движений, которое в дальнейшем используется. В § 1 приводятся уравнения, которым подчиняется движение рассматриваемой динамической системы. § 2 посвящен описанию особенностей структуры фазового пространства системы. В §3 - § 6 изучается система, описывающая движение частицы в направлении, нормальном к вибрирующей плоскости. В § 3 задача об изучении движений в такой системе сводится к исследо

8

ванию точечного отображения T. В §4 устанавливается ряд особенностей отображения T, которые в далыгейпгем используются. В §5 рассматриваются периодические точки отображения T, а также некоторые их бифуркации. Обнаружено наличие в системе гомоклинических структур, образованных сепаратрисами седловых неподвижных точек. В §6 на основании результатов численных экспериментов на ЭВМ делаются выводы о структуре пространства параметров, о характере установившихся движений, об их областях притяжения. В §7 приводятся результаты численного счета средней скорости виброперемещения вдоль плоскости при условии, что для описания изменения касательных составляющих скорости при ударе используется "гипотеза сухого трепня". Описываются закономерности поведения средней скорости впбротранспортпрованпя в зависимости от изменения параметров системы.
     В главе IV подсчитывается средняя скорость впбротранспортпрова-ния, оптимальная по углу вибраций. В § 1 приводятся уравнения движения рассматриваемой системы. В §2 описывается методика подсчета средней скорости вибротранспортирования. В §3 указываются закономерности поведения ( при изменении параметров ) средней скорости впброперемещенпя, оптимальной по углу вибраций. Даются практические рекомендации для увеличения средней скорости впброперемещенпя.
     В главе V найдены основные установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с неподвижным ограничителем. В § 1 уравнения, описывающие движения такого осциллятора, приводятся к наиболее удобному для дальнейших рассмотрений виду. В § 2 и § 6 описываются особенности фазового пространства осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно. В § 3 и § 7 изучение соответствующих динамических систем сводится к рассмотрению соответствующих точечных отображений. В §4 и § 8 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, доказана диссипативность и наличие при определенных условиях периодического движения с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений. В §5 и §9 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, описана структура пространства параметров на базе выделения основных установившихся движений п указания тех пз них, которые имеют значительные области существования в пространстве параметров.
     В заключении монографии приводятся основные результаты, с указанием тех разделов, где они получены. Также формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями, примыкающий к изученным в работе проблемам.

9

Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ


     Данная глава посвящена описанию рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями, выделению шести типов локальных особенностей таких спетом п изучению особенностей первых четырех типов.
     Основные результаты главы I опубликованы в работах [Г4, Г5, ГН, Г14].


§1. ОПИСАНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ


     Предполагается [Г 4], что мгновенные ударные взаимодействия происходят на гиперповерхности xₙ = 0, по достижении которой фазовые переменные x।,x2,... ,xₙ—1 меняются скачкообразно (переменная xₙ остается равной нулю) в соответствии с формулами


          xi = Hi( x— ,..., x. 1) = x 1 Hii (x i,..., x. i),
          xi = Hi(x—,... ,x——1) = x— + xHHii(x—,... ,x——1),
          i = 2, n — 1,


(1.1.1)

а при xn > 0 изменение фазовых переменных подчиняется дифференциальным уравнениям вида



dxi
=— = x i dt
dxn
dt ’

= Фi (xi, . . .,xn), i = 1 ,n — 1,

(1.1.2)

n    Фn ⁽x i, ... , xn ⁾



x i$ n i⁽ x i , . . . , xn) + xn ф nn ⁽x i , . . . , xn ) .


     Фазовое пространство системы составляют точки (xᵢ,..., xₙ—ᵢ, xₙ > 0). В соотношениях (1.1.1): x —,..., x—— ᵢ и xᵢ,..., xₙ—ᵢ - соответственно доударные и послеударные значения переменных.
     На протяжении всей работы предполагается, что всякий раз при использовании уравнений (1.1.1), (1.1.2) выполняются следующие условия:

10

-1 <H 11(0 ,x ₂ ,...,xₙ_ 1) < 0; H11 (x-,x - ,-..,xₙ_ 1) < 0; Ф ₙ 1 (x 1,..., xₙ₋ 1, 0) > 0; t h время. В главе I: функции H₁ j , j = 1 ,n — 1, onpe-делены и являются гладкими класса Cm, m > 3, в малых окрестностях точек (х— < 0,х —,... ,x-— 1) пространства Rⁿ—1, а функции Фj, j = = 1 ,n — 1, Фₙ 1, Фₙₙ определены и являются гладкими класса Cm в малых окрестностях точек (x 1,..., xₙ—1, xₙ > 0) пространства Rⁿ.
     Следует отметить, что специфический вид уравнений (1.1.2) и условие типа неравенства на функцию Фₙ 1 означает лишь, что:
     1) на гиперповерхности xₙ = 0, согласно (1.1.2),
x n = x 1Ф n 1 (x 1,..., xn—1, 0);      (1.1.3)
     2)      поэтому [НЮ] фазовые траектории системы (1.1.2) при x 1 = 0 касаются гиперповерхности xₙ = 0, при возрастании времени t они выходят из точек (x 1 > 0,x₂,...,xₙ—1 ,xₙ = 0) , а при уменыиении t - из точек (x 1 < 0 ,x ₂ ,...,xₙ—1, 0) (рис. 1.1). На рис. 1.1 сплошными линиями обозначены траектории системы (1.1.2), а пунктирными линиями соединены точки и их образы при отображении (1.1.1).


Рис. 1.1: Возможное поведение фазовых траекторий в окрестности гиперповерхности xn °-

     Указанный вид (1.1.1) ударных взаимодействий подразумевает лишь, что при достижении гиперповерхности xₙ = 0 фазовой траекторией со

11

скоростью изменения последней переменной равной xₙ = 0 ударные взаимодействия не меняют значений фазовых переменных (т.к. в силу (1.1.3) условие xₙ = 0 влечет равенство x ₁ = 0), а условия в виде неравенств на функцию Hи означают потерю абсолютной величины скорости изменения переменной xₙ после ударных взаимодействий.
     Поэтому к указанному виду (1.1.1) - (1.1.2) приводятся уравнения движения многих механических систем с одной ударной парой, ударные взаимодействия которой описываются в рамках стереомеханпческой теории удара:
     1) прямым соударением, подчиняющимся гипотезе Ньютона:
     2)     косым соударением, когда изменение касательных составляющих скорости подчиняется так называемой [Б1, KI, НЗ] гипотезе "сухого трения".
     При этом, естественно, предполагается, что на движение системы не влияют дополнительные нелинейности типа кулонова трепня, люфт п т.п., которые приводят к нарушению гладкости правых частей дифференциальных уравнений (1.1.2), описывающих движение в промежутках между ударными взаимодействиями.
     Кроме того, вид (1.1.1) ударных взаимодействий обобщает гипотезу Ньютона плп "сухого трепня" на случай, когда коэффициент восстановления или иные коэффициенты гипотезы не являются постоянными, а зависят от фазовых переменных системы (например, скоростей движения).
     Приведенным видом (1.1.1) - (1.1.2) динамической системы с ударными взаимодействиями можно пользоваться п при наличии в системе нескольких ударных пар, когда за интересующий момент времени происходят ударные взаимодействия лишь в одной пз них.
     Замечание 1. Далее принимается , что в момент удара t = 1₀ фазовая траектория содержит две точки (x-,..., x—— 1, 0) и (Х1,..., x ₙ₋ 1, 0).
     Пример 1. Пусть рассматриваются движения голопомпой механической системы с идеальными связями, содержащей одну ударную пару, мгновенные ударные взаимодействия которой описываются гипотезой Ньютона. Предполагается, что на движение системы не влияют дополнительные нелинейности типа кулонова трепня, люфт п т.п., которые приводят к нарушению гладкости правых частей дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в промежутках между ударными взаимодействиями. Тогда, выбирая за xₙ кратчайшее расстояние между двумя соударяющимися телами и полагая, в случае пеавтопомпостп системы


xn—1 t, xn— 1   1

12